200９年 京都大学（文系）・前期 問題と解答
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１． 次の各問にそれぞれ答えよ。 (1) xyz空間上の2点A（－3，－1，1），B（－1，0，0）を通る直線lに点C（2，3，3）から下ろし た垂線の足Hの座標を求めよ。 (2) 白球と赤球の入った袋から2個の球を同時に取り出すゲームを考える。取り出した2球が ともに白球ならば「成功」でゲームを終了し，そうでないときは「失敗」とし，取り出した2球に 赤球を1個加えた3個の球を袋にもどしてゲームを続けるものとする。最初に白球が2個， 赤球が1個袋に入っていたとき，n－1回まで失敗しn回目に成功する確率を求めよ。ただし， n≧2とする。 |
[解答]
(1)
CH⊥ABだから，←内積＝０を使う。
2（2t－5）＋（t－4）－（－t－2）＝0
6t－12＝0
t＝2
（答） （1，1，－1）
(2) k＝1，2，3，・・・，n－1とする。
k回目では，袋の中に白球2個，赤球k個が入っている。この回に失敗する確率は，
白白以外を取り出す確率。
また，n回目では，袋の中に白球2個，赤球n個が入っている。この回に成功する確率は，
白白を取り出す確率。
よって，求める確率は，←上の確率の全部の積
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２． 整式f（x）と実数Cが をみたすとき，このf（x）とCを求めよ。 |
[解答]
等式を変形すると，←xを積分の外に出しておく。
両辺をxで微分すると，←まず微分したくなる。
ここで，←f をA，Bに代入する。
だから， 2A＋2B＝1 ・・・・・・①
だから， A＋3B＝1 ・・・・・・②
①，②より，
また，★にx＝0を代入すると，←これでCがわかる。
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３． x，yはx≠1，y≠1をみたす正の数で，不等式 log x y＋log y x＞2＋（log x 2）（log y 2） をみたすとする。このときx，yの組（x，y）の範囲を座標平面上に図示せよ。 |
[解答]
log x y＋log y x＞2＋（log x 2）（log y 2）
底を2として，底の表記は省略する。←まずは底をそろえる。
両辺に正の数（log x・log y）2 を掛けて，
log x・log y（log x－log y＋1）（log x－log y－1）＞0
ここで，←領域の境界線を調べる。
log x＝0のとき，x＝1
log y＝0のとき，y＝1
（答）図の黄の部分。境界は含まない。←４つの境界線をかいておき，交互に色をぬる。
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４． 平面上で，鋭角三角形△OABを辺OBに関して折り返して得られる三角形を△OBC， △OBCを辺OCに関して折り返して得られる三角形を△OCD，△OCDを辺ODに関して 折り返して得られる三角形を△ODEとする。△OABと△OBEの面積比が2：3のとき， sin∠AOBの値を求めよ。 |
[解答]
∠AOB＝θ，OA＝a，OB＝bとすると，
3θ＝πのときは△OBEはできない。それ以外のときは次のようになる。←場合分けがあるのがうっかりしやすい。
どちらの場合も，
あとは絶対値の中を考えればOK。
0＜sin2θ＜1より，－1＜3－4sin2θ＜3だから，←１つに限定される。
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５． pを素数，nを正の整数とするとき，（
p n ）！はpで何回割り切れるか。 |
[解答]
（ p n ）！＝1・2・3・・・・・・p n
１からp nまでの整数すべてについて，pの因数の個数を求めればよい。
pの倍数は， 1・p，2p，3p，・・・，p n－1・pだから， p n－1個。
p2の倍数は， 1・p2，2p2，3p2，・・・，p n－2・p2だから， p n－2個。
・・・・・・・・・・・・
p n－1の倍数は， 1・p n－1，2 p n－1，3 p n－1，・・・，p・p n－1だから， p個。
p nの倍数は， p n のみで， 1個。
この中には重複した数があるが，pの因数の個数はこれらの和で求まる。
この合計は，
p n－1＋p n－2＋・・・＋p＋1
これが，（ p n ）！がpで何回割り切れるかを表す数である。
