200９年　東京大学（文科）・前期　問題と解答

　

　１．　座標平面において原点を中心とする半径2の円をC₁とし，点（1，0）を中心とする半径1の

　　円をC₂とする。また，点(a，b)を中心とする半径tの円C₃が，C₁に内接し，かつC₂に外接する

　　と仮定する。ただし，bは正の実数とする。

　　(1)　 a，bをtを用いて表せ。また，tがとり得る値の範囲を求めよ。

　　(2)　 tが(1)で求めた範囲を動くとき，bの最大値を求めよ。

[解答]　

(1)　

　円C₃がC₁に内接するので，←中心間の距離は半径の差に等しい

　　　　　　

　　　　　a²＋b²＝（ t−2）²　・・・・・・（ア）

　また，円C₃がC₂に外接するので，←中心間の距離は半径の和に等しい

　　　　　

　　　　（ a −1 ）²＋b²＝（t＋1）²　・・・・・・（イ）

　（ア）−（イ）より，←あとは連立方程式を解くだけ。

　　　　　a²−（a −1）²＝（t−2）²−（t＋1）²

　　　　　　　　　　　2 a −1＝−6 t＋3

a ＝−3 t＋2　

　（ア）より，　b²＝（t−2）²−a²

　　　　　　　　　＝（ t−2）²−（−3 t＋2）²

＝−8 t ²＋8 t

　

　bが存在する条件は，−8 t ²＋8 t＞0　すなわち，0＜t＜1

このとき，円C₃は確かに存在する。

(2)　 0＜t＜1のとき，　t＞0，1−t＞0だから，←（相乗平均）≦（相加平均）を使う。

　　

　

　

　２．　自然数m≧2に対し，m−1個の二項係数

　　　　　　　　　　_mＣ₁　，　_mＣ₂　， ・・・ ， _mＣ_m−1

を考え，これらすべての最大公約数をd_mとする。すなわち，d_mはこれらすべてを割り切る最大

　　の自然数である。

　　(1)　 mが素数ならば，d_m＝mであることを示せ。

　　(2)　すべての自然数kに対し，k^m−kがd_mで割り切れることを，kに関する数学的帰納法に

　　　よって示せ。

　　　　　　

[解答]　

(1)　まず， d_mは_mＣ₁の約数だから，d_m≦m　・・・�@　←d_mがm以下となることがわかる。

　次に r＝1，2，・・・，m−1とする。←二項係数をまとめて考える準備。

　　　　　

　　　これはm個のものからr個とった組合せの数を表すので整数である。

　　　したがって分子は分母の倍数であるが，mは素数だから分母のどの因数とも互いに素である。

　　　

　　　すなわち，_mＣ_rはmの倍数であり，これにより，d_mもmの倍数となる。　・・・�A

　　　�@，�Aより，d_m＝m　　　　　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

(2)　 「すべての自然数kに対し，k^m−kがd_mで割り切れる」・・・★

　これを数学的帰納法で証明する。

　(�@) k＝1のとき

　　k^m−k＝0だから，これは自然数d_mで割り切れる。よって，★は成り立つ。

　(�A) k＝p (pはある自然数)のとき，★が成り立つと仮定する。

　　（p＋1)^m−（p＋1)＝ _mＣ₀＋p・_mＣ₁＋p²・_mＣ₂＋・・・＋p^m−1・_mＣ_m−1＋p^m・_mＣ_m−（p＋1) ←二項定理で展開。

＝p・_mＣ₁＋p²・_mＣ₂＋・・・＋p^m−1・_mＣ_m−1＋（ p^m−p )

　　ここで，_mＣ₁，_mＣ₂，・・・，_mＣ_m−1はすべてd_mで割り切れ，p^m−pは帰納法の仮定からd_mで割り切れる

　　ので，（p＋1)^m−（p＋1)はd_mで割り切れる。

　　よって，k＝p＋1のときも★が成り立つ。

　(�@)，(�A)より，★は成り立つ。　　　　　　　　　　　　（証明終わり）

　３．　スイッチを1回押すごとに，赤，青，黄，白のいずれかの色の玉が1個，等確率１／４で

　　　出てくる機械がある。２つの箱ＬとＲを用意する。次の３種類の操作を考える。

　　　　（Ａ）　１回スイッチを押し，出てきた玉をＬに入れる。

　　　　（Ｂ）　１回スイッチを押し，出てきた玉をＲに入れる。

　　　　（Ｃ）　１回スイッチを押し，出てきた玉と同じ色の玉が，Ｌになければその玉をＬに入れ，

　　　　　　Ｌにあればその玉をＲに入れる。

　(1)　ＬとＲは空であるとする。操作（Ａ）を5回おこない，さらに操作（Ｂ）を5回おこなう。このとき

　　　ＬにもＲにも4色すべての玉が入っている確率Ｐ₁を求めよ。

　(2) ＬとＲは空であるとする。操作（Ｃ）を5回おこなう。このとき，Ｌに4色すべての玉が入って

　　　いる確率Ｐ₂を求めよ。

　(3)　 ＬとＲは空であるとする。操作（Ｃ）を10回おこなう。このときＬにもＲにも4色すべての玉が

　　　

[解答]　

(1)　 Ｌに4色すべての玉が入っているのは，５回の色の出方が

　　　　　　　　赤，青，赤，黄，白

　　のように１色が２回，他の色が１回ずつ出る場合である。このような色の出方は，

　　　　　　　　₅Ｃ₂×4！通り　←（２回出る色の場所）×（色の順番）

　　よって，Ｌに4色すべての玉が入っている確率は，

　　　　　　　　

　　Ｒに4色すべての玉が入っている確率も同じである。

　　　　　　　

　

(2) 操作（Ｃ）を5回おこなったとき，Ｌに4色すべての玉が入っているのは，

　　操作（Ａ）を5回おこなったとき，Ｌに4色すべての玉が入ることと同じである。←（１）で求めた。

　

(3)　 操作（Ｃ）を10回おこなったとき，ＬにもＲにも4色すべての玉が入っているのは，

　（�@）１つの色が４回，他の色が２回ずつ出る

　（�A）２つの色が３回，他の色が２回ずつ出る　

　このいずれかである。←それぞれの確率を求めて足せばいい。

　（�@）の場合の色の出方は，←（４回出る色の選択）×（パターン）

　　　　

　　だから，確率は，

　　　　　　

　 （�A）の場合の色の出方は，←（３回出る色の選択）×（パターン）

　　　　　

　　だから，確率は，

　　　　　　

　よって，

　　　　　　

　　　　　　

　　　　　　　　

　

　４．　2次以下の整式f (x)＝ax ²＋bx＋cに対し，

　　　　

　を考える。

　(1)　 f ( 0 )＝0，f ( 2 )＝2のときのSをaの関数として表せ。

　(2)　 f ( 0 )＝0，f ( 2 )＝2をみたしながらfが変化するとき，Sの最小値を求めよ。

[解答]　

(1)　 f ( 0 )＝0より，c＝0

　　　f ( 2 )＝2より，4a＋2b＝2　　b＝1−2 a

よって，　f ´( x )＝2ax＋（1−2 a ）

　 a＝0のとき，f ´( x )＝1だから，

　　　　　

　　以下，a≠0のときを考える。

　　　　f ´( x )＝0となる値をtとすると，2at−（2 a−1）＝0　←記述しやすいように置き換えておく

また，　f ´( 0 )＝1−2 a， f ´( 2 )＝2 a＋1　←積分を面積で求めるので，この値が必要。

　　

　（�@）　t＜0，2＜tのとき　←折れ線の境が区間の外にある場合

　　　　　　

　　　　

　　　　

　　　　　＝（1−2 a）＋（2 a＋1）＝2　←定数になりました。

（�A）　0≦t≦2のとき　←折れ線の境が区間の中にある場合

　　　　　　

　　　　　

　　　　

　　　　　　←絶対値を１つにまとめると，きれいな式になる。

　　　　　　　

　　　　　　　←２乗は，絶対値がはずせる。

　

　　　　

　　　　　←（相加平均）≧（相乗平均）