200７年　日本ジュニア数学オリンピック　問題と解答

　

2007年1月8日　試験時間2時間

 

　

 

 

[解答]

 

 

 

 

　２．　　四角形ABCDにおいてAB＝5，BC＝7，CD＝6であり，対角線ACとBDは四角形の内部

　　で直交している。DAを求めよ。

 

 

[考え方]　

分けられた４つの三角形で三平方の定理を使います。

　　

 

[解答]

OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝dとする。

三平方の定理から，

△OABで，　a2＋b2＝25　・・・・・・①

△OBCで，　b2＋c2＝49　・・・・・・②

△OCDで，　c2＋d2＝36　・・・・・・③

①＋③－②より，　

  a2＋d2＝12　←DAの２乗の式を作ります

　　　DA2＝12

 

 

 

 

　

 

 

[考え方]　

分母と分子をそれぞれ文字でおいて，通分し，あてはまる分子の数を考えます。

 

[解答]

 

 

 

　４．　　実数を係数とする３次の３変数多項式f ( x，y，z ) であって，次の条件を満たすものを１つ

　　　求めよ。

　　　　　・　f ( x，y，z )＋xはy＋zで割り切れる。

　　　　　・　f ( x，y，z )＋yはz＋xで割り切れる。

　　　　　・　f ( x，y，z )＋zはx＋yで割り切れる。

   ただし，多項式P ( x，y，z ) が多項式Q ( x，y，z ) で割り切れるとは，

　　　P ( x，y，z )＝Q ( x，y，z ) R ( x，y，z )　となる多項式R ( x，y，z )が存在することをいう。

 

 

[考え方]　

カンを頼りに探すしかない。あまりいい問題とはいえません。

 

[解答]　

f (x，y，z)＋x＝( y＋z )×L

f (x，y，z)＋y＝( z＋x )×M

f (x，y，z)＋z＝( x＋y )×N 　 ( L，M，N は多項式 )

とおける。左辺を f (x，y，z)にそろえると，←この変形は高校レベルですな。

   f (x，y，z)＋( x＋y＋z )＝( y＋z )×( L＋1)

   f (x，y，z)＋( x＋y＋z )＝( z＋x )×( M＋1)

   f (x，y，z)＋( x＋y＋z )＝( x＋y )×( N＋1)　

と表せる。

これより f (x，y，z)＋( x＋y＋z ) はy＋z，z＋x，x＋y を因数にもつ３次式なので，そのようなものを

１つ求めると，

　　　f (x，y，z)＋( x＋y＋z )＝(x＋y) (y＋z) (z＋x)　 ←これでよいのでしょうか？変な問題。

　　　f (x，y，z)＝(x＋y) (y＋z) (z＋x)－( x＋y＋z )

（答）　(x＋y) (y＋z) (z＋x)－(x＋y＋z)

　　　

 

 

 

　５．　　５×５のマス目があり，そのうち左上の４×４のマス目の各マスに１，２，・・・，１６の整数

　　　のいずれかを，どの２マスに書かれた数も相異なるように書き込む（★）。第１行から第４行の

　　　各行について，その行に書かれた４つの数の合計をその行の右端の何も書かれていないマス

　　　に書き込む。同じように，第１列から第４列の各列についても，その列に書かれた４つの数の

　　　合計をその列の下端の何も書かれていないマスに書き込む。右下隅のマスには何も書き込

　　　まない。

　　　以下の条件を満たす最大の整数mを求めよ。

　　　　　条件：（★）の段階でうまく数を書き込むと，第５列に，書き込まれた数の差がm以上の

　　　　　　　　２マスが存在し，第５行に，書き込まれた数の差がm以上の２マスが存在する。

 

 

[考え方]　

例えば，次のようになります。

この場合はm＝7となります。このmをなるべく大きくしたいので，最大の列には大きな数を，

最小の列には小さな数を入れ，差の値が均衡するようにします。

 

 

[解答]　

第５列に書かれた４数のうち，

　最大数をS，最小数をs，

第５行に書かれた４数のうち，

　最大数をT，最小数をt

とし，右図のように各マスの数を文字でおく。

mが最大となる場合，和が最小の行，列の交点には１が，和が最大の行，列の交点には１６が入る。

なぜなら，これら交点に別の数が入った場合，その数を１，１６にそれぞれ入れ替えれば，

S－sまたはT－tをさらに大きくできるからである。

ここで，　

　　　　　  S－s ＝ (p＋q)－(a＋b)＋(x－y)＋15

　　　　　　　T－t ＝ (r＋s)－(c＋d)－(x－y)＋15

辺々を足すと，

　　　　( S－s )＋( T－t )＝(p＋q＋r＋s)－(a＋b＋c＋d)＋30　←これが気づきにくいか。

p＋q＋r＋sが最大となるのは，12＋13＋14＋15＝54　←16はすでに使っているので。

a＋b＋c＋dが最小となるのは，2＋3＋4＋5＝14　　←1はすでに使っているので。

だから，( S－s )＋( T－t ) が最大となる値は，54－14＋30＝70

S－s　， T－t のうちの小さい方（大きくない方）がmとなるので，mが最大になるのは，

　S－s＝35， T－t＝35

のときである。このようになる例は，次の場合がある。

（答）　３５

 

 

 

 

　６．　　三角形ABCにおいて，BC，CA，ABの中点をそれぞれD，E，Fとすると，AD＝３，BE＝４，

　　　CF＝５である。ABCの面積を求めよ。

 

 

[考え方]　

ADを延長して，平行四辺形を作ります。

 

 

 

 

 

　

 

　７．　　四角形ABCDの対角線AC，BDは四角形の内部の点Pで交わっている。

    AC＝２，BD＝３，∠APB＝６０°であるとき，AB＋BC＋CD＋DAのとりうる最小値を求めよ。

 

 

[考え方]　

これも補助線を引きます。２点を結んだ線の長さが最小となるのは線分のときで，これを踏まえて

４辺の長さの和を，うまく置き換えられるようにします。

 

[解答]　

ACに平行で長さがACに等しい線分BE，DFを図のように引くと，←なかなか発見できませんね。

四角形ABEC，ACFD，BEFDは平行四辺形となる。

ここで，AB＝CE，AD＝CFだから，

AB＋BC＋CD＋DA＝CE＋BC＋CD＋CF

　　　　　　　　　　　　＝（BC＋CF）＋（DC＋CE）　←うまくいった感。

この和が最小となるのは，四辺形BEFDの対角線の交点がCになるときである。

 

図から，最小値は，

 

 

 

 

　８．　　nは十の位が０でない４桁の正の整数であり，nの上２桁と下２桁をそれぞれ２桁の整数と

    考えたとき，この２数の積はnの約数となる。そのようなnをすべて求めよ。

 

 

[考え方]　

上２桁をA，下２桁をBとして，まずAとBの条件を作ります。

 

 

[解答]　

nの上２桁をA，下２桁をBとすると，n＝１００A＋B

これがABの倍数となるから，１００A＋BはAの倍数である。

よって，BはAの倍数だから，B＝t A　（t＝１，２，・・・，９）　←まずはAとBの関係を築く。

と表せる。

また，１００A＋BはB（＝t A）の倍数でもあるから，１００Aはt Aの倍数，つまりtは１００の約数である。

よって，t＝１，２，４，５　←さらに条件がしぼれた。

このとき，n＝１００A＋t A＝A（１００＋t）だから，これがABの倍数になるには，

Bが１００＋tの約数になる場合を求めればよい。

 

（ア） t＝１のとき　←順に調べていく。

　　１０１の２桁の約数はない。

（イ） t＝２のとき

　　　B＝２A　だから，Bは偶数。←これを出しておくと探しやすい。

　　１０２の２桁の約数のうち，偶数は，３４

　　　　　B＝３４，A＝１７，n＝１７３４

（ウ） t＝４のとき

　　　B＝４A　だから，Bは４の倍数。

　　１０４の２桁の約数のうち，４の倍数は，５２

　　　　　B＝５２，A＝１３，n＝１３５２

（エ） t＝５のとき

　　　B＝５A　だから，Bは５０以上の５の倍数であるが，１０４の約数にこれはない。

 

（答）１３５２，１７３４

 

 

 

 

 

　９．　　１９×１９のマス目がある。すべての辺がマスの境界に沿っている長方形を「良い長方形」

    ということにする。次の条件を満たす最小の整数nを求めよ。

　　条件：どのように９個のマスを取り除いても，残りの部分をn個以下の良い長方形に分割できる。

 

 

[考え方]　

取り除くマスを少なくして調べ，規則性を見つけます。

 

取り除くマスが端の列にある場合，取り除くマスが端の列にない場合よりも分割の数が少ない。

また，取り除くマスが同じ列にある場合，取り除くマスが同じ列にない場合よりも分割の数が少ない。

だから，取り除くマスがすべて端ではなく，かつ同じ列にない場合を考えます。

 

 

[解答]　

取り除くマスの数をm個とする。問題の答えはm＝９のときを考えればよい。

まず，取り除くm個のマスをすべて含む「良い長方形」を考え，このうちで面積が最小の長方形をSとする。

そしてＳの内部を良い長方形で分割するとき，個数が最小となるように分割したときの，それらの個数の最

大値をamとする。

↑言い方が難しいです。マス目の取り除き方のすべての場合を調べるという前提で，どの場合も良い長方形が最小になるように囲む。

そのときの各々の良い長方形の個数のうちの最大値をamとする，ということです。

 

取り除くマスのうち，Ｓの各辺に接するものがそれぞれ存在する。これとＳの辺について対称な右図のような赤いマスが存在する場合，そのどのマスもSの内部の良い長方形に含めて囲むことができない。

だから，全体を良い長方形で分割するには

（am＋４）個の長方形が必要となる。

よって求めるnは，

   　　 n＝a9＋４

となる。

そこで，a9を求めるため，amを順に調べていく。

 

（ⅰ）　m＝３のとき　

 

 

 良い長方形の個数が最小になるように囲むとき，この図の場合は６個である。

　よって，　　a3＝６　←どのように囲んでも最小で６個となったが，５個では囲めないことを示す必要がある。

　　　　　　　　　　　　　　　　これがわからない・・。

 

（ⅱ）　m＝４のとき　

 

この図のように，a4＝９である。←８個では囲めないことを示す必要がある。これもわからない。

 

いま，取り除くマスを１個追加したときに，分割する長方形が何個増えるのかを考える。

追加したマス目が，分割してある良い長方形のどの部分にくるのかで次の３通りの場合がある。

このように最大で３個増える場合がありうるので，以下a5，a6，・・・は，３個ずつ増えていく。

       ↑ここがわからない。一番右の場合でも，４つの新しい長方形のどれかがこれまでの長方形に含まれてしまう

         ことがあれば，「３個増える」とは言い切れない。これを示す必要があるのですが，う～～ん，難しい。

よって，　　a9＝a4＋３×（９－４）＝２４

求める最小の整数nは，

　　　　　　　n＝a9＋４＝２４＋４＝２８

（答）　２８