200９年 日本ジュニア数学オリンピック予選 問題と解答
2009年1月12日 試験時間3時間
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１． 下図において，三角形OAB，OBC，OCDはそれぞれ∠OAB，∠OBC，∠OCDを直角とする 直角二等辺三角形である。三角形OCDの面積が12のとき，三角形OABの面積を求めよ。 |
[考え方]
直角二等辺三角形を，分割します。
[解答]
この図から，△OCDは△OABを４個並べたものだとわかる。
△OAB＝12÷4＝3
（答） 3
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２． 一辺1の正方形15個からなる3行5列のマス目がある。最も左下にある頂点を点A， 最も右上にある頂点を点Bとする。また，各正方形には下図のように左下の頂点から右上 の頂点への対角線が引かれている。これらの対角線と正方形の辺を通るAからBへの行き 方のうち，距離が最短であるものは何通りあるか。 |
[考え方]
まずは，最短距離となる線分の種類を考えます。なるべく対角線を多く通った方が距離が短くなるので，
対角線3本，横棒2本を通る場合が最短距離となります。
[解答]
最短距離となるのは，下図の赤い線分のうちの5本を通る場合である。
横棒1本進むことを「ヨ」，対角線1本進むことを「タ」としてその順序を考えると，
ヨヨタタタ
ヨタヨタタ
ヨタタヨタ
ヨタタタヨ
タヨヨタタ
タヨタヨタ
タヨタタヨ
タタヨヨタ
タタヨタヨ
タタタヨヨ
の10通り。←5個のものから2個取った組合せと同じで，5C2＝10通りとしてもＯＫ。
（答） 10通り
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３． 次の数を小数で表したときの整数部分（小数点以下第1位を切り捨てた数）を求めよ。 |
[考え方]
大ざっぱに見積もると，分母＝13,000,000＝13×106，分子＝109,000,000＝109×106 くらいで，
整数部分は8になりそうだと見当がつきます。
[解答]
分母＝S，分子＝T とする。
分子のそれぞれの数について，その大きさを調べると，
1×8＜9≦1×9 ←分子の１つの数を両サイドではさむ
12×8＜98＜12×9
123×8＜987＜123×9
1234×8＜9876＜1234×9
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
12345678×8＜98765432＜12345678×9
これらを加えて，
S×8＜T＜S×9
各辺をSでわると，
よって，整数部分は8となる。
（答） 8
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４． 3桁の正の整数が2つあり，どちらも一の位と十の位がともに9である。このような2つの数 の積の千の位としてありうる値をすべて求めよ。 |
[考え方]
百の位の数を文字でおいて，式をつくって展開します。
[解答]
百の位の数をa，bとすると，2数の積は，
(100 a＋99) (100 b＋99)＝10000 ab＋9900 (a＋b)＋9801
＝10000 ab＋10000(a＋b)－100(a＋b) ＋9801 ←変形する
＝100｛98－(a＋b)｝＋1＋10000 ab＋10000(a＋b) ←１は無視できる
千の位に影響するのは赤い部分だけであり，求めるものは98－(a＋b) の十の位である。
2≦a＋b≦18だから，
80≦98－(a＋b)≦96
98－(a＋b)の十の位は8か9である。
（答） 8，9
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５． すべての辺の長さが1の凸五角形があり，ある2本の対角線のなす角が90°である。 このような五角形の面積としてありうる最大の値を求めよ。 ただし，すべての内角が180°未満である五角形のことを凸五角形という。 |
[考え方]
すべての辺が1で2本の対角線が直交するような五角形をかいてみます。
[解答]
すべての辺が1で2本の対角線が直交するような凸五角形は，次のようになる。
この図で，
△ABO≡△AEO（直角三角形の斜辺と他の１辺が等しい）
だから，BO＝EO
よって，△BCO≡△ECO（２辺とその間の角が等しい）
だから，BC＝EC＝1となり，四角形ABCEはひし形である。←このひし形の面積を最大にすればいい。
ひし形ABCEの面積は，BC×（AからBCに引いた垂線の長さh）であり，これが最大になるのは
h＝1のときだから，ひし形ABCEの面積の最大の値は，
1×1＝1 ←正方形のとき。このとき五角形ABCDEは凸五角形となる）
一方，正三角形CDEの面積は，
よって，五角形の面積の最大の値は，
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６． 14n，16n，18n，20nの正の約数の個数がすべて等しくなるような最小の正の整数nを 求めよ。 |
[考え方]
約数の個数の求め方には，次の公式があります。（高校レベル）
2a×3 b×5cの約数の個数は，(a＋1) (b＋1)
(c＋1)
指数より１つ多い数を掛け合わせたものが約数の個数となります。
[解答]
14n＝2×7×n
16n＝24×n
18n＝2×32×n
20n＝22×5×n
ここで，n＝2a×3
b×5c×7
dとおく。←最小の正の整数を求めるので，これ以外の因数は無視してＯＫ。
14n ＝
2a+1×3
b×5c×7d+1 ……①
16n ＝ 2a+4×3
b ×5c×7d ……②
18n ＝ 2a+1×3
b+2×5c×7d ……③
20n ＝ 2a+2×3
b ×5c+1×7d ……④
①と②の約数の個数が等しいので，
(a＋2)
(d＋2)＝(a＋5)
(d＋1) ←3 b×5cが共通なので無視できる
a＝3 d＋1 ……（ア）
②と③の約数の個数が等しいので，
(a＋5)
(b＋1)＝(a＋2)
(b＋3)
3b＝2
a＋1
＝2(3 d＋1)＋1 ←（ア）を代入
b＝2 d＋1
……（イ）
②と④の約数の個数が等しいので，
(a＋5)
(c＋1)＝(a＋3)
( c＋2)
2c＝a＋1
2c＝3
d＋2 ……（ウ） ←（ア）を代入
（ア）～（ウ）を満たす最小のnは，d＝0のときで，
a＝1，b＝1，c＝1 このとき，n＝2×3×5＝30
（答） 30
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７． 一辺の長さが1の小立方体が8つある。これらを重ねて，下図のように一辺の長さが2の 立方体を作った。このとき，もとの小立方体の頂点と一致する点を2点以上通るような直線 は空間内に何本あるか。 |
[考え方]
全部で27個の頂点があり，この中の2点を通る直線が何本あるのかを求めればいいのですが，2点
でなく3点通る直線もあります。重複する直線をあとで引く，という方法で求めます。
[解答] H22 1.12訂正。ご指摘ありがとうございます。
27個の頂点のうちの2点を通る直線の本数は，重複もふくめて，
27×26÷2＝351（本）
この中には，2点だけを通る直線と3点を通る直線があり，3点を通る直線は3回重複して数えられて
いる。←Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にある場合，直線ＡＢ，直線ＢＣ，直線ＡＣの３つがカウントされている。
次に，3点を通る直線の本数を求める。
立方体の1つの面上にある3点を通る直線の本数は，
だから，合計8本。
立方体の6つの面のうち互いに垂直な3つの面をア，イ，ウとし，このそれぞれに平行な直線の本数
（面上の直線も含む）を数える。
アに平行な3点を通る直線は，8×3＝24（本）
アに平行でなくイに平行な3点を通る直線は，5×3＝15（本） ←上の24本で数えたものはのぞく。
アにもイにも平行でなくウに平行な3点を通る直線は，2×3＝6（本） ←上の24本，15本で数えたものはのぞく。
よって，これらの合計は，24＋15＋6＝45（本）
一辺が2の立方体の対角線4本も，3点を通る直線だから，これをふくめて，合計49本。
よって，求める直線の本数は，
351－49×2＝351－98＝253（本） ←全体から，重複した3つのうちの2つ分を引く。
（答） 253本
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８． 1以上100以下の奇数をすべて掛けあわせた数の下3桁を求めよ。 |
[考え方]
1から99までの奇数は50個あります。これを全部掛けて計算するわけにはいきません。
下3桁とは，掛けあわせた積を1000でわったときの余りなので，1000＝8×125と考えて8でわった余り
を調べます。
[解答]
1以上100以下の奇数50個の積をTとする。
Tの下3桁の数は，Tを1000でわったときの余りである。
ここで，1000＝8×125であり，Tは125でわり切れる。
T＝（5と25を除く１から99までの奇数の積）×5×25
と考え，（ ）内の値を8でわった余りを考える。
いま，
1×3×7＝21を8でわった余り＝5
また，
9×11×13×15＝（8＋1）（8＋3）（8＋5）（8＋7）＝8×（整数）＋1×3×5×7
と表されるので，
9×11×13×15を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1 ←4つをセットにするのがポイントです。
同様に，
17×19×21×23を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1
27×29×31を8でわった余り＝3×5×7を8でわった余り＝1 ←25は除くが，同じ余りになる。
33×35×37×39を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・ ←以下同じ。
89×91×93×95を8でわった余り＝1×3×5×7を8でわった余り＝1 ←ここまで，全部1になる。
97×99を8でわった余り＝1×3を8でわった余り＝3
以上より，（5と25を除く１から99までの奇数の積）を8でわった余りは，上記の余りをすべてかけ
あわせて， 5×1×1×・・・×1×3＝15
これを8でわった余りに等しいので，7となる。
よって，
（5と25を除く１から99までの奇数の積）＝8 M＋7
と書けて，
T＝（8 M＋7）×5×25＝1000 M＋875
Tを1000でわったときの余りは875だから，Tの下3桁の数は，875
（答） 875
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９． 三角錐O-ABCと底面ABC上の点Xは，OA＝2，OB＝3，OC＝4，∠AOB＝∠BOC＝ ∠COA，∠AOX＝∠BOX＝∠COX＝30°をみたしている。このとき三角錐O-ABCの体積を 求めよ。ただし，PQで線分PQの長さを表すものとする。 |
[考え方]
ABCを底面として立体をかくのはわかりにくい。OXと，OA，OB，OCのなす角が30°なので，まずは
OA，OBをのばして正三角錐をつくります。
[解答]
OA，OBを延長してOA1＝OB1＝4となる点A1，B1をとる。
△OA1B1≡△OB1C≡△OCA1 ←２辺とその間の角が等しい。
だから，A1B1＝B1C＝CA1
よって，△A1B1Cは正三角形であり，三角錐OA1B1
Cは正三角錐である。
OXと△A1B1Cの交点をX1とすると，∠A1O X1＝∠B1O X1＝∠CO X1＝30°だから，
△OA1X1≡△OB1
X1≡△OC X1 ←２辺とその間の角が等しい。
よって， A1X1＝B1X1＝CX1
X1は△A1B1Cの重心となるので，OX1⊥△A1B1C
△OA1X1で， A1X1＝2
△A1B1Cは図のようになる。
正三角錐OA1B1 Cの体積は，
次に，三角錐OABCと三角錐OA1B1
Cの体積の比を考える。
まず，△OAB：△OA1B1＝（2×3）：（4×4）＝3：8
←はさむ角が同じなので，２辺の積が面積の比となる。
これらを底面と見ると，高さが等しいので，体積の比も３：８となる。
よって，三角錐O-ABCの体積は，
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１０． 実数 a， b， c，
d，
e，
f が （
a＋1999 ）（ b－1999 ）（ c＋1999 ）＋（ d－1999 ）（ e＋1999 ）（ f －1999 ）＝1 （ a＋2000 ）（ b－2000 ）（
c＋2000 ）＋（ d－2000 ）（ e＋2000 ）（ f －2000 ）＝10 （ a＋2001 ）（ b－2001 ）（
c＋2001 ）＋（ d－2001 ）（ e＋2001 ）（ f －2001 ）＝100 をみたすとき， （ a＋2009 ）（ b－2009 ）（
c＋2009 ）＋（ d－2009 ）（ e＋2009 ）（ f －2009 ） を求めよ。 |
[考え方]
式が複雑で４桁の数があるので，置き換えをしてもう少しシンプルにします。
[解答]
a＋2000＝A，b－2000＝B，c＋2000＝C，d－2000＝D，e＋2000＝E，f －2000＝F とおくと，
３つの条件の式は，
（ A－1 ）（ B＋1 ）（ C－1 ）＋（ D ＋1 ）（ E－1 ）（ F＋1 ）＝1 ……①
A B C＋D E F ＝10 ……②
（ A＋1 ）（ B－1 ）（ C＋1 ）＋（ D－1 ）（ E＋1 ）（ F－1 ）＝100 ……③
求める式は，
T ＝（ A＋9 ）（ B－9 ）（ C＋9 ）＋（ D－9 ）（ E＋9 ）（ F－9 ）
となる。
①より，
A B C＋（－A B－B C＋C A ）＋（－A＋B－C ）＋D E F＋（
D E＋E F－F D ）＋（－D＋E－F ）＝1
整理すると，
（ A B C＋D E F）－（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D ）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝1
（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D ）＋（A－B＋C＋D－E＋F ）＝9 ……④ ←②を代入
③より，
A B C＋（A B＋B C－C A ）＋（－A＋B－C ）＋D E F＋（－D E－E F＋F D ）＋（－D＋E－F ）＝100
整理すると，
（ A B C＋D E F）＋（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝100
（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－（A－B＋C＋D－E＋F ）＝90 ……⑤ ←②を代入
④，⑤を解いて，
A B＋B C－C A－D E－E F＋F D＝99÷2＝49.5
A－B＋C＋D－E＋F＝－81÷2＝－40.5
よって，
T ＝A B C＋9（A B＋B C－C A ）＋81（－A＋B－C ）＋D E F＋9（－D E－E F＋F D ）＋81（－D＋E－F ）
＝（ A B C＋D E F ）＋9（A B＋B C－C A－D E－E F＋F D）－81（A－B＋C＋D－E＋F ）
＝10＋9×49.5－81×（－40.5）
←求めた値が代入できる
＝3736
（答） 3736
残りはＧＷ明けにＵＰします・・。